라플라스 변환 (feat.MATLAB)

라플라스 변환

라플라스 변환 정의

라플라스변환의 정의는 위의 적분 안의 식의 절댓값을 0부터 무한대까지 적분한 값이 유한함이 성립하는 f(t)에 대해,

위의 식을 이용하여 계산하는 것이다.

 

라플라스 변환을 이용할 경우 time-domain을 s-domain으로 바꿀 수 있다.

또한, 복잡한 방법으로 풀어야하는 미분방정식을 라플라스변환하면 대수방정식으로 근을 구할 수 있다.

하지만 라플라스 변환이 필요한 순간마다 계속 위의 적분을 계산하는 것은 매우 불편하고 정확성도 떨어질 수 있다.

 

따라서 아래의 라플라스 변환표를 외워두는 것을 추천한다.

 

★라플라스 변환표★

역라플라스변환

역라플라스변환 정의

 

역라플라스 변환은 라플라스변환의 반대방향의 변환으로, s-domain을 time-domain으로 바꿔준다.

이 식 또한 복잡하므로 위의 표를 이용하여 계산하기를 권장한다.

 

분모가 여러차수의 다항식일 경우, 위의 표에서 해당 식을 찾을 수 없는 경우가 발생한다.

이땐, 주어진 분수를 부분분수(Partial-Fraction)로 바꾸어 변환해준다.

 

부분분수

 

case1: G(s) has simple poles

case2: G(s) has Multiple-order poles(중근)

case3: G(s) has Simple complex-conjugate poles

매트랩을 이용하여

- 부분분수

residue(분자,분모) 함수를 이용하면 부분분수의 분자와 분모가 0이 되는 s를 반환해준다.

- 역라플라스 변환

ilaplace( ) 함수를 이용하면 역라플라스 변환을 할 수 있다.

s-domain으로 주어진 함수를 time-domain으로 바꾸어 그래프를 그리는 코드이다.